¿Qué es la ley de Gauss: fórmula y su derivación?

El estudio de la carga eléctrica y el flujo eléctrico junto con la superficie es la ley de Gauss. Es una de las leyes básicas del electromagnetismo, que es aplicable a cualquier tipo de superficie cerrada conocida como superficie gaussiana. Esta ley es explicada y publicada por un matemático y físico alemán Karl Friedrich Gauss ley en el año 1867. Describe la relación entre la intensidad del campo eléctrico de una superficie y la carga eléctrica total encerrada por esa superficie. Este artículo ofrece una descripción general de la ley de Gauss en dieléctricos y magnetostáticos con una expresión matemática.¿Qué es la ley de Gauss? La ley de Gauss es una de las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell y define que el flujo eléctrico total en una superficie cerrada es igual al cambio encerrado dividido por permitividad. Según esta ley, el flujo total vinculado con una superficie cerrada es 1 / E0 veces el cambio encerrado por una superficie cerrada. El flujo eléctrico en un área significa el producto del campo eléctrico y el área de la superficie proyectada en un plano y perpendicular al campo. Fórmula de la ley de Gauss Según esta ley, la carga total encerrada en una superficie cerrada es proporcional al flujo total encerrado por la superficie. Considere si, Φ es el flujo total y E0 es la constante eléctrica, entonces la carga eléctrica total Q encerrada por la superficie cerrada se puede expresar de la siguiente manera: Q = ΦE0 Por lo tanto, la fórmula de la ley de Gauss se puede expresar de la siguiente manera ΦE = Q / E0 Donde, Q = Carga total dentro de la superficie dada, E0 es la constante eléctrica. Este concepto es simple y se puede entender muy fácilmente considerando el diagrama de la ley de Gauss que se muestra en la figura siguiente. El flujo eléctrico total a través de la superficie cerrada depende de las cargas de la superficie cerrada y las cargas en el exterior de la superficie no contienen ningún flujo. La forma de la superficie se considera arbitrariamente. Dado que el flujo eléctrico total es independiente de la ubicación de las cargas dentro de la superficie cerrada. Esta superficie imaginaria se llama superficie gaussiana, que depende de la configuración de cargas y del tipo de simetría que existe en la configuración de carga. Se eligen principalmente superficies cilíndricas y planasDiagrama de la ley de Gauss Unidad SI de la ley de Gauss La unidad SI de la ley de Gauss se da a continuación. Si el campo eléctrico es constante, el flujo eléctrico que pasa a través de la superficie del área vectorial S esΦE = E .S = ES Cos өSi un campo eléctrico no es constante, el El flujo eléctrico a través de un área de superficie pequeña dS está dado por d ΦE = E. dS Donde E = Campo eléctrico dS = área diferencial en una superficie cerrada El flujo eléctrico tiene unidades SI de voltímetros (V m) Un campo eléctrico es una región del espacio alrededor de una partícula cargada o entre dos voltajes; ejerce una fuerza sobre objetos cargados en su vecindad.Expresión matemática de la ley de Gauss De acuerdo con la ley de Gauss, el flujo total en un área de superficie cerrada es 1 / E0 veces la carga confinada por una superficie cerrada.∮E. ds = (1 / E0) q Por ejemplo, una carga puntual q se coloca en la arista de un cubo. Entonces, según la ley de Gauss, el flujo generado a través de cada cara de un cubo es q / 6 E0 Según esta ley, la carga total encerrada en una superficie cerrada es proporcional al flujo total encerrado por la superficie. flujo y E0 es la constante eléctrica, entonces la carga eléctrica total Q encerrada por una superficie cerrada se puede expresar de la siguiente manera: Q = Φ E0 Por lo tanto, la fórmula de la ley de Gauss se puede expresar como sigue E = Q / E0 Donde, Q = Carga total dentro de la superficie dada, E0 es la constante eléctrica Derivación La derivación de la ley de Gauss se da a continuación. Derivación de la ley de Gauss usando la ley de coulombs, CASO 1: Superficie esférica que encierra una carga puntual única Supongamos que tenemos una carga puntual estacionaria única con una magnitud de EE = q / 4ΠE0r2ΦE = ∮E. dA = ∮ q / 4ΠE0r2. dA = q / 4ΠE0r2§ dA = qA / 4ΠE0r2 = q4Πr2 / 4ΠE0r2 = q / E0ΦE = ∮ E. dA = q / E0 CASO 2: Superficie irregular que encierra la misma carga puntual Deje que el mismo tipo de líneas de campo atraviesen la superficie A1 y A2ΦE = ∮A1 E. dA = ∮A2 E. dA = q / E0∮ E. dA = q / E0 Ley de Gauss en dieléctricos Considere un capacitor de placas paralelas con área A y densidad de carga iguales σ y habrá un vacío entre las placas. El siguiente diagrama explica esta ley en dieléctricos entre las dos placas paralelas. Luego, podemos evaluar el vector de campo E0 en la región entre las placas usando la ley de Gauss.Ley de Gauss en dieléctricos Consideremos una superficie gaussiana con forma de cuboides y una cara es gaussiana, el flujo no pasará a través de ella, y entonces el flujo no pasará a través de la cara perpendicular a esta cara. Por lo tanto, el flujo solo pasará a través de la cara que es paralela a la placa positiva. Considere la constante E0 de la superficie gaussiana y ө es el ángulo entre el vector de campo y el vector de área∯S E0. dα = q / E0∯S E0 dα cosө = q / E0∯S E0 dα = q / E0E0∯S dα = q / E0E0A = q / E0E0 = q / E0A Aquí q = A σE0 = A σ / E0AE0 = σ / E0Gauss Ley de la magnetostática Esta ley del magnetismo se aplica al flujo magnético a través de una superficie cerrada. En este caso, el vector de área apunta desde la superficie. Dado que las líneas de campo magnético son bucles continuos, todas las superficies cerradas tienen tantas líneas de campo magnético entrando como saliendo. Por lo tanto, el flujo magnético neto a través de la superficie cerrada es cero. Flujo neto = ʃ B. dA = 0 Por lo tanto, la suma neta de todas las corrientes en la superficie cerrada es nula. La ley de Gauss para cargas fue un método muy útil para calcular campos eléctricos en situaciones altamente simétricas. La ley de Gauss para la magnetostática se usa muy raramente. Significado Esta sección le permitirá una explicación clara sobre el significado de la ley de Gauss. El enunciado de la ley de Gauss es correcto y adecuado para cualquier superficie cerrada independientemente del tamaño o la forma del objeto particular. El término Q en la fórmula de la ley de Gauss indica la suma de todas las cargas que están completamente encerradas en el objeto independientemente de la posición del objeto. carga en la superficie En algunas de las superficies seleccionadas, existen cargas internas y externas de un campo eléctrico. La superficie seleccionada para la funcionalidad de la ley de Gauss se denomina superficie gaussiana, pero esta superficie no debe pasar a través de ningún tipo de cargas aisladas. Esto se emplea principalmente para el análisis simplificado del campo electrostático en el caso de que el sistema mantenga algún equilibrio. . Esto solo sucederá cuando elijamos una superficie gaussiana exacta. Ejemplo 1). Una superficie gaussiana cerrada en el espacio 3D donde se mide el flujo eléctrico. Siempre que la superficie gaussiana sea esférica, está encerrada con 40 electrones y tiene un radio de 0.6 metros. Calcule el flujo eléctrico que pasa a través de la superficie. Encuentre el flujo eléctrico que tenga una distancia de 0.6 metros al campo medido desde el centro de la superficie. la relación que existe entre la carga encerrada y el flujo eléctrico. Respuesta Con la fórmula del flujo eléctrico, se puede calcular la carga neta que está encerrada en la superficie. Esto se puede lograr mediante la multiplicación de la carga del electrón con todos los electrones que aparecen en la superficie. Usando esto, se puede conocer la permitividad del espacio libre y el flujo eléctrico. = Q / є0 = [40 (1.60 * 10-19) /8.85 * 10-12] = 7.42 * 10-12 Newton * metro / Coulomb de flujo eléctrico y expresando el área según el radio se puede utilizar para calcular el campo eléctrico. = EA = 7.42 * 10-12 Newton * metro / CoulombE = (7.42 * 10 -) / A = (7.42 * 10 -) / 4∏ (0.6) 2 Como el flujo eléctrico tiene una proporción directa con la carga eléctrica encerrada, esto significa que cuando la carga eléctrica en la superficie aumenta, el flujo que pasa a través de ella también aumentará. Ventajas Las ventajas de la ley de Gauss son las siguientes siguienteCuando se compara con la ley de coulombs, proporciona la dirección de fuerza específica con la precisión adecuada con sus casos generales adecuados.El teorema de Gauss es más eficiente en todos los objetos y superficies cerrados con el propósito de encontrar un campo eléctrico y también funcionará de manera efectiva en el proceso de distribución cuando se compara con la ley de coulombs Desventajas Las desventajas de la ley de Gauss son como f Ollows La limitación de la ley de Gauss es que solo calculará el campo eléctrico en algunos casos especiales. No podemos usar la ley de Gauss en el cálculo del campo debido al dipolo eléctrico.Aplicaciones A continuación se encuentran las aplicaciones importantes de la ley de Gauss Esta es la más útil para resolver problemas electrostáticos complejos que involucran simetrías únicas como simetría cilíndrica, esférica o plana. Esto puede ser muy útil. Para calcular la intensidad del campo debido a un cable de carga uniforme infinitamente largo. Si la distribución de carga carece de simetría de aplicación, en esos casos podemos usar esta ley para calcular los campos de carga puntuales de los elementos de carga individuales que están presentes en el objeto. simplificar la evaluación del campo eléctrico simple y fácilmente.En algunas de las situaciones complejas, donde el cálculo del campo eléctrico es complejo, entonces esta ley se usa en forma integral.Por lo tanto, se trata de una descripción general de la ley de Gauss - definición , fórmula, unidad SI, expresión matemática, derivación, diagrama, en dieléctricos, en magnetostática, significación, ejemplos con soluciones, Advantag es, desventajas y sus aplicaciones.

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